Question

過點P（2，4）作兩條互相垂直的直線l₁、l₂，l₁交x軸于A點，l₂交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程.

Answer 1

解法一：設點M的坐標為（x,y）,

∵M為線段AB的中點，

∴A的坐標為（2x,0），B的坐標為（0，2y）.

∵l₁⊥l₂，且l₁、l₂過點P（2，4），

∴PA⊥PB,k_PA·k_PB=-1.

而k_PA=,k_PB=(x≠1).

∴=-1(x≠1),

整理得x+2y-5=0(x≠1).

∵當x=1時，A、B的坐標分別為（2，0）、（0，4），

∴線段AB的中點坐標是（1，2），它滿足方程x+2y-5=0.

綜上所述，點M的軌跡方程是x+2y-5=0.

解法二：如圖，設M的坐標為（x,y），則A、B兩點坐標分別是（2x,0）、（0，2y），連接PM.

∵l₁⊥l₂,

∴2|PM|=|AB|.

而|PM|=,

|AB|=,∴2.

化簡，得x+2y-5=0為所求軌跡方程.

解法三：設M的坐標為（x,y）,連接PM、OM，由l₁⊥l₂知A、O、B、P四點共圓，AB為圓的直徑，M為圓心，則有|OM|=|MP|.

∴.

化簡得x+2y-5=0，為所求軌跡方程.