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(2012•石家莊一模)有一批貨物需要用汽車從城市甲運至城市乙,已知從城市甲到城市乙只有兩條公路,且通過這兩條公路所用的時間互不影響.
據調查統計,通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數分布如表:
所用的時間(天數) 10 11 12 13
通過公路1的頻數 20 40 20 20
通過公路2的頻數 10 40 40 10
(I)為進行某項研究,從所用時間為12天的60輛汽車中隨機抽取6輛.
(i)若用分層抽樣的方法抽取,求從通過公路1和公路2的汽車中各抽取幾輛;
(ii)若從(i)的條件下抽取的6輛汽車中,再任意抽取兩輛汽車,求這兩輛汽車至少有一輛通過公路1的概率.
(II)假設汽車4只能在約定日期(某月某日)的前11天出發,汽車1只能在約定日期的前12天出發.為了盡最大可能在各自允許的時間內將貨物運往城市乙,估計汽車4和汽車1應如何選擇各自的路徑.
分析:(Ⅰ)(i)根據題意,所用時間為12天共有60輛汽車,其中公路1有20輛,公路2有40輛,由分層抽樣方法計算可得答案,
(ii) 通過公路1的兩輛汽車分別用a、b表示,通過公路2的4輛汽車分別用c、d、e、f表示,列舉從中任意抽取2輛汽車的情況,可得其情況的數目以及至少有1輛經過公路1的情況數目,由古典概型計算公式,計算可得答案;
(Ⅱ)根據題意,設事件C1、C2分別表示汽車A在前11天出發選擇公路1、2將貨物運往城市乙;事件D1、D2分別分別表示汽車B在前12天出發選擇公路1、2將貨物運往城市乙,由頻率、頻數的關系計算可得頻率分布表,即可得P(C1)與P(C2),P(D1)與P(D2)的大小,比較可得答案.
解答:解:(Ⅰ) (i)根據題意,所用時間為12天共有60輛汽車,其中公路1有20輛,公路2有40輛,
公路1抽取6×
20
20+40
=2輛汽車,
公路2抽取6-2=4輛汽車.
(ii) 通過公路1的兩輛汽車分別用a、b表示,通過公路2的4輛汽車分別用c、d、e、f表示,
任意抽取2輛汽車共有15種可能的結果:依次為(a,b)、(a,c)、(a、d)、(a、e)、(a,f)、
(b,c)、(b、d)、(b、e)、(b,f)、(c、d)、
(c、e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)、(e,f),
其中至少有1輛經過公路1的有9種,
所以至少有1輛經過1號公路的概率為
9
15
=
3
5

(Ⅱ)頻率分布表,如下:
所用時間 10 11 12 13
公路1的頻率 0.2 0.4 0.2 0.2
公路2的頻率 0.1 0.4 0.4 0.1
設事件C1、C2分別表示汽車4在前11天出發選擇公路1、2將貨物運往城市乙;事件D1、D2分別分別表示汽車1在前12天出發選擇公路1、2將貨物運往城市乙.
P(C1)=0.2+0.4=0.6,P(C2)=0.1+0.4=0.5,
P(C1)>P(C2),
∴汽車4應選擇公路1;
P(D1)=0.2+0.4+0.2=0.8,P(D2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
P(D1)<P(D2),
∴汽車1應選擇公路2.
點評:本題考查古典概率的計算,涉及頻率分布表的計算與應用與分層抽樣方法;關鍵正確分析頻率分布表,得到有關的數據.
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