Question

記函數f(x)的定義域為D，若存在x₀∈D，使得f(x)＝x成立，則稱(x₀，x₀)為函數f(x)圖象上的“穩定點”．

(1)是否存在實數a，使函數f(x)＝的圖象上有且僅有兩個相異的穩定點？若存在，求出范圍；若不存在，請說明理由．

(2)若函數f(x)是定義在R上的奇函數，求證：函數必有奇數個穩定點．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：設函數f(x)＝的圖象上有且僅有兩個相異的穩定點， 　　則f(x)＝＝x， 　　即有兩個相異的根， 　　所以 　　解之，得a＞5或a＜1，a≠－． 　　因此存在a∈(－∞，－)∪(－，1)∪(5，＋∞)使得函數f(x)＝的圖象上有且僅有兩個相異的穩定點; 　　(2)證明：因為函數f(x)是定義在R上的奇函數， 　　所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0． 　　因此(0，0)是f(x)的一個穩定點． 　　假設函數還有穩定點(x0，x0)， 　　即f(x0)＝x0，則必定有f(－x0)＝－x0． 　　這說明(－x0，－x0)也是函數的穩定點． 　　綜上所述，奇函數的穩定點除原點外，都是成對出現，因此其穩定點的個數是奇數．