Question

為深入貫徹素質教育，增強學生體質，某中學從高一、高二、高三三個年級中分別選了甲、乙、丙三支足球隊舉辦一場足球賽．足球賽具體規則為：甲、乙、丙三支足球隊進行單循環賽（即每兩個隊比賽一場）．共賽三場，每場比賽勝者積3分，負者積0分，沒有平局．在每一場比賽中，甲勝乙的概率為

1

3

，甲勝丙的概率為

1

4

，乙勝丙的概率為

1

3

．
（Ⅰ）求甲隊獲得第一名且丙隊獲得第二名的概率；
（Ⅱ）設在該次比賽中，甲隊積分為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是等可能事件的概率，及離散型隨機變量及其分布列和數學期望．
（1）甲隊獲得第一名且丙隊獲得第二名，需要滿足甲勝乙，甲勝丙，丙勝乙，則P（A）=

1

3

×

1

4

×(1-

1

3

)，計算后即可得到甲隊獲得第一名且丙隊獲得第二名的概率；
（2）由題意可知ξ可能取值為0、3、6，分類討論并計算：則甲兩場皆輸：P（ξ=0）=(1-

1

3

)(1-

1

4

)；甲兩場只勝一場：P（ξ=3）=

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

3

)×

1

4

；甲兩場皆勝：P（ξ=6）=

1

3

×

1

4

，我們易得到ξ的分布列，進而得到其數學期望．

解答：解：（Ⅰ）設甲隊獲第一且丙隊獲第二為事件A，則P（A）=

1

3

×

1

4

×(1-

1

3

)=

1

18

（3分）
（Ⅱ）ξ可能取值為0、3、6，（4分）
則甲兩場皆輸：P（ξ=0）=(1-

1

3

)(1-

1

4

)=

1

2

（5分）
甲兩場只勝一場：P（ξ=3）=

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

3

)×

1

4

=

5

12

（6分）
甲兩場皆勝：P（ξ=6）=

1

3

×

1

4

=

1

12

．（8分）
∴ξ的分布列為：
（10分）
Eξ=0×

1

2

+3×

5

12

+6×

1

12

=

7

4

（12分）

點評：本小題主要考查相互獨立事件概率的計算，運用數學知識解決問題的能力，要想計算一個事件的概率，首先我們要分析這個事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進行求解．