Question

【題目】已知數(shù)列滿足，．記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：當(dāng)時．

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時顯然成立，假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即證成立即可；

（Ⅱ）要證，則需證：，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最小值，再由可得結(jié)論；

（Ⅲ）先證明和，再證，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可證明.

證明：（Ⅰ）（1）當(dāng)時顯然成立；

（2）假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即，

則，，

，即，

設(shè)，

則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴，即，

，

∴，假設(shè)成立，

綜上得，當(dāng)時，．

（Ⅱ）要證，即證：，

又因為，則，

則需證：，

由（1）得當(dāng)時，，

設(shè)，

∵，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，

，

∴，

∴，

即，

∴．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，

則，即，

所以，

則，

∴，

∵，則，

∴，

即，所以，

可知為等比數(shù)列，首項為，公比，

利用等比數(shù)列的通項公式得出：，

∴，則

，且，

由題意知，由于，

則

，

又因為，且，

則，

則，

由于數(shù)列的前項和為，

∴，

即：.