Question

在△PAB中，已知A（-，0）、B（，0），動點P滿足|PA|=|PB|+4．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設M（-2，0），N（2，0），過點N作直線l垂直于AB，且l與直線MP交于點Q，試在x軸上確定一點T，使得PN⊥QT．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知動點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支除去其與x軸的交點，且求出雙曲線的實半軸和半焦距，利用b²=c²-a²求出b²后可得動點P的軌跡方程；
（2）分別寫出直線l與直線MP的方程，求出Q點的坐標（用含有k的代數式表示），設出P點的坐標，把直線MP的方程和雙曲線方程聯立后利用根與系數的關系求出P點的坐標，再設出T的坐標，寫出向量
與的坐標，由列式可求T的坐標．
解答：解：（1）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴動點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支除去其與x軸的交點．
設雙曲線方程為．
由已知，得，解得，∴b²=c²-a²=2．
∴動點P的軌跡方程為．
（2）由題意，直線MP的斜率存在且不為0，設直線l的方程為x=2．
設MP的方程為y=k（x+2）．
∵點Q是l與直線MP的交點，∴Q（2，4k）．設P（x，y）
由，整理得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0
則此方程必有兩個不等實根x₁=-2，x₂=x＞2．
∴1-2k²≠0，且-2x=．
∴．∴．
設T（t，0），要使PN⊥QT，只需．
由N（2，0），，．
∴．
∵k≠0，∴t=4，此時，∴所求T的坐標為（4，0）．
點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡的求法，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法．直線與曲線聯立，利用方程的根與系數的關系解題是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是難題．