Question

（2009•臺州一模）已知點B（0，t），點C（0，t-4）（其中0＜t＜4），直線PB、PC都是圓M：（x-1）²+y²=1的切線．
（Ⅰ）若△PBC面積等于6，求過點P的拋物線y²=2px（p＞0）的方程；
（Ⅱ）若點P在y軸右邊，求△PBC面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用△PBC面積等于6，確定P的坐標，結合直線PB與圓M相切，即可求過點P的拋物線y²=2px（p＞0）的方程；
（Ⅱ）確定PB，PC的方程，求出P的橫坐標，表示出△PBC面積，即可求得最小值．

解答：解：（Ⅰ）設P（x_p，y_p），由已知x_p＞0，
∵S△PBC=

1

2

×4×xp=6，∴x_p=3，∴P(3，±

6p

)，（2分）
設直線PB與圓M切于點A，
∵S△PBC=

1

2

×(4+4+2PA)×1=6，∴PA=2，
∵M（1，0）∴PM=

5

，∴PM=

4+6p

=

5

，
∴p=

1

6

，∴y2=

1

3

x（6分）
（Ⅱ）∵點 B（0，t），點C（0，t-4），（7分）
∴兩條切線方程為：PB：y=

1-t2

2t

x+t，PC：y=

-t2+8t-15

2t-8

x+t-4，（9分）
∴

1-t2

2t

xp+t=

-t2+8t-15

2t-8

xp+t-4，
∴xp=

2t2-8t

t2-4t+1

，
∵0＜t＜4，∴x_p＜0或xp≥

8

3

，
∵x_p＞0，∴xp≥

8

3

，（13分）
∴S△PBC=

1

2

×4×xp≥

16

3

，
又∵t=2時，S△PBC=

16

3

，∴△PBC面積的最小值為

16

3

（15分）

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．