Question

設向量

i

，

j

，

k

是不共面的三個向量，則下列各組向量不能作為空間向量基底的是（　　）

A． p = i -2 j + k ， q =- i +3 j +2 k ， r =-3 i +7 j

B． p = i + j - k ， q =2 i +3 j -5 k ， q =-7 i +18 j +22 k

C． p = i + j ， q = i + k ， r = j + k

D． p = i + j ， q = i - j ， r = k

Answer 1

A．令a

p

+b

q

+c

r

=

0

，∴a（1，-2，1）+b（-1，3，2）+c（-3，7，0）=（0，0，0），可得

a-b-3c=0 -2a+3b+7c=0 a+2b=0

，消去a化為b+c=0，令b=-1，則c=1，a=2．
∴存在一組非0常數a=2，b=-1，c=1使得a

p

+b

q

+c

r

=

0

，
故

p

，

q

，

r

是共面的三個向量，故不能作為空間向量的基底．
B．令a

p

+b

q

+c

r

=

0

，即a（1，1，-1）+b（2，3，-5）+c（-7，18，22）=（0，0，0）．
可得

a+2b-7c=0 a+3b+18c=0 -a-5b+22c=0

，解得a=b=c=0．
故

p

，

q

，

r

是三個不共面的三個向量，可以作為空間向量的基底．
同理C，D可以作為空間向量的基底．
綜上可知：只有A不能作為基底．
故選A．