Question

(14分) 已知函數(shù)．

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，判斷方程實根個數(shù).

（3）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）在內(nèi)有且僅有一個實數(shù)根

（3）

【解析】

試題分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義得到導數(shù)的值，切點坐標得到結(jié)論。

（2）時，令，

 求解導數(shù)，并判定又，

在內(nèi)有且僅有一個零點進而得到結(jié)論。

（3）恒成立， 即恒成立，

 又，則當時，恒成立，

分離參數(shù)法構(gòu)造新函數(shù)利用求解的最小值得到參數(shù)m的范圍。

（1）時，，，切點坐標為，

切線方程為

（2）時，令，

，在上為增函數(shù)

又，

在內(nèi)有且僅有一個零點

在內(nèi)有且僅有一個實數(shù)根

（或說明也可以）

（3）恒成立， 即恒成立，

 又，則當時，恒成立，

令，只需小于的最小值，

，

， ， 當時，

在上單調(diào)遞減，在的最小值為，

則的取值范圍是

考點：本題主要是考查導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，求解最值和導數(shù)幾何意義的綜合運用。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是能將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為哈雙女戶的最值來處理，并得到參數(shù)的范圍，同時要理解導數(shù)的幾何意義表示的為切線的斜率。