Question

（2012•成都一模）已知定義在R上的連續奇函數f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且在區間[0，2]上是增函數，有下列命題：
①函數f（x）的圖象關于直線x=4k+2（k∈Z）對稱；
②函數f（x）的單調遞增區間為[8k-6，8k-2]（k∈Z）；
③函數f（x）在區間（-2012，2012）上恰有1006個極值點；
④若關于x的方程f（x）-m=0在區間[-8，8]上有根，則所有根的和可能為0或±4或±8．
其中真命題的個數有（　　）

A．1 個

B．2 個

C．3 個

D．4 個

Answer 1

分析：依題意，可得f（x-8）=f（x），從而可求得f（x）的周期，再由f（x）在區間[0，2]上是增函數，可對①②③④逐個判斷，得到答案．

解答：解：對于①，∵定義在R上的連續奇函數f（x）滿足f（x-4）=-f（x），
∴f[（x-4）-4]=-f（x-4）=f（x），即f（x-8）=f（x），
∴f（x）是以8為周期的函數，8k（k∈Z且k≠0）也是其周期，又f（x）為R上的連續奇函數，
由f（x-4）=-f（x）得，f（-x-4）=-f（-x）=f（x），
∴f（-x-4+8）=f（x），即f（4-x）=f（x），又8k（k∈Z且k≠0）是其周期，
∴f（8k+4-x）=f（x），
∴函數f（x）的圖象關于直線x=4k+2（k∈Z）對稱，故①正確；
作圖如下：

由圖可知，函數f（x）的單調遞減區間為[8k-6，8k-2]（k∈Z），故②錯誤；
由圖可知，f（x）在一個周期內有兩個極值點，在區間（-2012，2012）上有503個周期，故恰有1006個極值點，③正確；
由圖中a，b，c，d及x軸五條直線可知，關于x的方程f（x）-m=0在區間[-8，8]上有根，則所有根的和可能為0或±4或±8，故④正確．
綜上所述，①③④正確．
故選C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數的周期性、單調性、極值點及函數圖象，綜合性強，難度大，屬于難題．