Question

【題目】已知函數，.

（1）求證：

（2）若有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）計算 ，令，進而由可得在上單調遞增，分析導函數的正負可得存在，使得，（*），即得，從而得，從而得證；

（2）函數有兩個零點等價于方程有兩個不同的解，又等價于有兩個不同的解，令，求導，分析函數的單調性和極值即可得解.

（1）證明：的定義域為，，

令，則，

所以在上單調遞增，即在上單調遞增，

，，

故存在，使得，（*）

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增，

所以對，均有，①

由（*）式可得，代入①式得，

又，所以，當且僅當時取“=”，但，故，

故．

（2）解：由題得，

于是函數有兩個零點等價于方程有兩個不同的解，

因為，所以又等價于有兩個不同的解．

令，則，

再令，則，

所以在上單調遞增．

又，所以當時，；當時，，

故當時，；當時，，

于是當時，單調遞減；當時，單調遞增，即 是在上的最小值，

于是，若，即時，則當時，，

當時，，故在上至多有一個零點；

若，即時，則當時，由于，，

，

故在上有且僅有一個零點；

同理，當時，由于，，

，

故在上有且僅有一個零點，即當時，共有兩個零點．

綜上，當時，有兩個零點.