Question

（2013•廣東模擬）已知向量

a

=(sinx，

3

4

)，

b

=(cosx，-1)．
（1）當

a

∥

b

時，求cos²x-sin2x的值；
（2）設函數f(x)=2(

a

+

b

)•

b

，已知在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=

3

，b=2，sinB=

6

3

，若f(x0)+cos(2A+

π

6

)=-

1

2

+

3 2

5

，x0∈[

π

8

，

π

2

]，求cos2x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

a

∥

b

，結合向量平行的坐標表示可求tanx，然后利用二倍角公式及同角基本關系對cos²x-sin2x進行化簡，代入即可求解
（2）利用向量的數量積的坐標表示及和差角、輔助角公式對已知函數化簡可得f(x)=2(

a

+

b

)•

b

=

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

，然后結合正弦定理可求A，代入f(x)+cos(2A+

π

6

)，化簡可求

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，
∴

3

4

cosx+sinx=0，
∴tanx=-

3

4

…（2分）
cos2x-sin2x=

cos2x-2sinxcosx

sinx2+cos2x

=

1-2tanx

1+tan2x

=

8

5

…（6分）
（2）f(x)=2(

a

+

b

)•

b

=

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

可得sinA=

2

2

，所以A=

π

4

，…（9分）
f(x)+cos(2A+

π

6

)=

2

sin(2x+

π

4

)-

1

2

，
∵f(x0)+cos(2A+

π

6

)=-

1

2

+

3 2

5

，x0∈[

π

8

，

π

2

]，
∴sin(2x0+

π

4

)=

3

5

，cos(2x0+

π

4

)=-

4

5

點評：本題主要考查了向量平行的坐標表示及二倍角公式、同角基本關系、和差角公式等知識的綜合應用．