Question

【題目】已知，橢圓：的離心率為，直線與交于，兩點，長度的最大值為4.

（1）求的方程；

（2）直線與軸的交點為，當直線變化（不與軸重合）時，若，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)由橢圓中弦長最長的位置在長軸位置可得的值,再由離心率并結合求得的值，從而求得橢圓的標準方程;

(2)如圖所示:

由題中關系式利用平面幾何知識結合正弦定理可得:∠MPA=∠MPB,進而可得kPA=-kPB,設A點坐標,B點坐標,M點坐標(,0)和直線l的方程,和橢圓方程聯立化簡得,然后利用根的判別式、韋達定理和斜率公式綜合運算可得的值.

（1）由題意弦長AB長度的最大值為4,可得2a=4即得a=2,由離心率,

且聯立解得=4, =3,所以橢圓的方程為.

（2）設，，的方程為，代入橢圓方程并整理得

，

由，

解得，

，.

因為即，由角平分定理或正弦定理，即可得到

，即，所以，即，

又，所以，

即，

所以，因為為變量，所以，

所以點的坐標為.