Question

【題目】已知函數，其中為實數，為自然對數的底數.

（1）求函數的單調區間；

（2）是否存在實數，使得對任意給定的，在區間上總存在三個不同的，使得成立？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為與，單調遞減區間為與（2）存在，

【解析】

（1）先對函數求導，然后結合導數與單調性的關系即可求解，

（2）結合（1）的討論,對進行分類討論，即可求解．

解：（1）

.

當，即時，.

∴.

當時，；當時，.

當，即時，.

∴.

當時，；當時，.

∴函數的單調遞增區間為與，單調遞減區間為與.

（2）由（1）可知，函數在有兩個極小值，，

存在一個極大值，另外.

對于函數.

假設存在滿足題意的實數.

當時，，滿足題意.

當時，.

由題意，解得.

當時，.

由題意，解得.

綜上，實數的取值范圍是.