Question

在函數(shù)y=log_ax（a＞1，x＞1）的圖象有A、B、C三點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為m，m+2，m+4．
（1）若△ABC面積為S，求S=f（m）；
（2）求S=f（m）的值域；
（3）確定S=f（m）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）分別由A、B、C三點(diǎn)向x軸作垂線，交點(diǎn)為D，E，F(xiàn)，根據(jù)S_△ABC=S_ABED+S_BCFE-S_ACFD和D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出函數(shù)f（m）的表達(dá)式．
（2）由（1）中得f（m）=loga(1+

4

m2+4m

)，先根據(jù) m＞1，推斷t=m²+4m為增函數(shù)，進(jìn)而推斷函數(shù)f（m）為減函數(shù)，根據(jù)m的范圍，求得函數(shù)的值域．
（3）由（1）中得f（m）=loga(1+

4

m2+4m

)，先根據(jù) m＞1，推斷t=m²+4m為增函數(shù)，進(jìn)而推斷函數(shù)f（m）為減函數(shù)，

解答：解：分別由A、B、C三點(diǎn)向x軸作垂線，交點(diǎn)為D，E，F(xiàn)
S_△ABC=S_ABED+S_BCFE-S_ACFD
=

1

2

•2•{[log_am+log_a（m+2）]+[log_a（m+2）+log_a（m+4）]}-2•[log_am+log_a（m+4）]
=2log_a（m+2）-log_am-log_a（m+4）
=loga

(m+2)2

m(m+4)

=loga(1+

4

m2+4m

)
∵m＞1，∴t=m²+4m為增函數(shù)，
∴原函數(shù)為減函數(shù)，
∴0＜f（m）≤

9

5

即函數(shù)S=f（m）的值域?yàn)椋?，

9

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．常涉及利用單調(diào)性求函數(shù)的值域和最值等問(wèn)題．