Question

【題目】己知橢圓 （m＞n＞0）的離心率e的值為 ，右準線方程為x=4．如圖所示，橢圓C左右頂點分別為A，B，過右焦點F的直線交橢圓C于M，N，直線AM，MB交于點P．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點P（4， ），直線AN，BM的斜率分別為k1 ， k2 ， 求 ．
（3）求證點P在一條定直線上．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓 （a＞b＞0）的離心率e的值為 ，即 ，右準線方程為x=4，即

解得：a=2，c=1，

∵a2=b2+c2

∴b= ．

故得橢圓的標準方程為：

（2）解：點P（4，3 ），A（﹣2，0），故得直線AP方程為y= ，與橢圓方程 聯立，求解M的坐標為（0， ），

那么可得MN直線方程為y=1﹣3x，與橢圓方程 聯立，求解N的坐標為（ ， ），

那么AN的斜率為k1= ，BM的斜率k2= ，則 =

（3）解：設斜率存在的MN的直線方程為y=k（x﹣1），利用設而不求的思想，M（x1，y1），N（x2，y2），

與橢圓方程 聯立，可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

那么： …①， …②

由A，M的坐標可得直線AM的方程為 ，

由B，N的坐標可得直線BN的方程為 ，4

直線AM與直線BN聯立，可得： ，

∴ …③，

將①②代入③

解得：x=4．

故點P在直線x=4上．

當k不存在時，經驗證，點P在直線x=4上滿足題意

【解析】（1）利用橢圓C的離心率為 ，右準線的方程為x=4，建立方程，求出幾何量，可得橢圓C的方程；（2）利用A，P點，求出直線AP，與橢圓方程求解M的坐標，直線MF與橢圓聯立求出N的坐標，可得AN，BM的斜率分別為k1 ， k2 ， 可求 的值．（3）設出MN的直線方程y=k（x﹣1），利用設而不求的思想，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），表示出AN直線，BM直線的方程．AN直線與BM直線聯立方程求解p的坐標，可得P在一條定直線上．