Question

【題目】已知數列中，，且點（）在直線上.

（1）求數列的通項公式；

（2）對任意的，將數列落入區間內的項的個數記為，求的通項公式；

（3）對于（2）中，記，數列前項和為，求使等式成立的所有正整數、的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據在直線上可知數列為等差數列,結合即可求得通項公式.

（2）根據等差數列的通項公式,代入區間即可求得中間的項數,即可求得的通項公式；

（3）將的通項公式代入,求得數列的通項公式,根據數列為等比數列可求得,代入等式即可求得正整數、的值.

（1）因為點在直線上

所以即

所以數列為等差數列,且公差

又因為

即

所以

所以數列的通項公式為

所以

（2）因為

數列落入區間內的項的個數記為

所以即

所以項數為

即

（3）因為,代入

可得

所以

所以數列是以為公比的等比數列

則前項和

因為等式成立

所以

化簡可得

所以當且僅當時成立