Question

動點P在x軸與直線l：y＝3之間的區域(含邊界)上運動，且到點F(0,1)和直線l的距離之和為4.

(1)求點P的軌跡C的方程；

(2)過點Q(0，－1)作曲線C的切線，求所作的切線與曲線C所圍成區域的面積.

Answer 1

(1)設P(x，y)，根據題意，

得＋3－y＝4，

化簡，得y＝x²(y≤3).

 (2)設過Q的切線方程為y＝kx－1，代入拋物線方程，整理得x²－4kx＋4＝0.

由Δ＝16k²－16＝0，解得k＝±1.

于是所求切線方程為y＝±x－1(亦可用導數求得切線方程).

切點的坐標為(2,1)，(－2,1).

由對稱性知所求的區域的面積為

S＝2∫[x²－(x－1)]dx＝.