Question

已知△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數列
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判斷此時△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知等式，得到c=2a，再有a，b，c成等比數列，利用等比數列的性質列出關系式，利用余弦定理表示出cosB，將得出的關系式代入計算即可求出值；
（2）由表示出的cosB，將b²=ac代入利用基本不等式變形求出cosB的最小值，由余弦函數在[0，π]上為減函數，確定出B的最大值，由此時a=c及b²=ac，得出三角形ABC為等邊三角形．

解答：解：（1）sinC=2sinA利用正弦定理化簡得：c=2a，
∵a，b，c成等比數列，∴b²=ac=2a²，即b=

2

a，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+4a2-2a2

4a2

=

3

4

；
（2）∵b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∵函數y=cosx在區間[0，π]上為減函數，
∴B∈（0，

π

3

]，即角B的最大值為

π

3

，
此時有a=c，且b²=ac，可得a=b=c，
則△ABC為等邊三角形．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形形狀的判斷，等比數列的性質，以及余弦函數的單調性，熟練掌握定理是解本題的關鍵．