Question

如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求證：二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：如圖，
由AB是圓的直徑，得AC⊥BC．
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC．
又PA∩AC=A，PA?平面APC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因為BC?平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）過C作CM⊥AB于M，
因為PA⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以PA⊥CM，
故CM⊥平面PAB．
過M作MN⊥PB于N，鏈接NC．
由三垂線定理得CN⊥PB．
所以∠CNM為二面角C-PB-A的平面角．
在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得BC=

3

，CM=

3

2

，BM=

3

2

．
在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得PB=

5

．
因為Rt△BNM∽Rt△BAP，所以

MN

1

=

3 2

5

．
故MN=

3 5

10

．
又在Rt△CNM中，CN=

30

5

．故cos∠CNM=

6

4

．
所以二面角C-PB-A的余弦值為

6

4

．