Question

已知橢圓以坐標原點為中心，坐標軸為對稱軸，且該橢圓以拋物線y²=16x的焦點P為其一個焦點，以雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的焦點Q為頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知點A（-1，0），B（1，0），且C、D分別為橢圓的上頂點和右頂點，點M是線段CD上的動點，求

AM

•

BM

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知P（4，0），點Q（5，0），設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，且a=5，c=4，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）設M（x₀，y₀），線段CD方程為

x

5

+

y

3

=1，即y=-

3

5

x+3(0≤x≤5)，由點M是線段CD上，知y0=-

3

5

x0+3(0≤x0≤5)，由此能求出

AM

•

BM

的取值范圍．

解答：解：（1）由已知得點P為（4，0），點Q為（5，0）…（2分）
∴可設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，且a=5，c=4…（3分）
∴b²=25-16=9，故橢圓的標準方程為

x2

25

+

y2

9

=1．…（5分）
（2）設M（x₀，y₀），線段CD方程為

x

5

+

y

3

=1，即y=-

3

5

x+3(0≤x≤5)…（7分）
∵點M是線段CD上，∴y0=-

3

5

x0+3(0≤x0≤5)
又

AM

=(x0+1，y0)，

BM

=(x0-1，y0)，
∴

AM

•

BM

=

x

2 0

+

y

2 0

-1，…（10分）
將y0=-

3

5

x0+3(0≤x0≤5)代入得：

AM

•

BM

=

x

2 0

+(-

3

5

x0+3)2-1
∴

AM

•

BM

=

34

25

x

2 0

-

18

5

x0+8=

34

25

(x0-

45

34

)2+

191

34

…（12分）
∵0≤x₀≤5，
∴

AM

•

BM

的最大值為24，

AM

•

BM

的最小值為

191

34

．
∴

AM

•

BM

的取值范圍是[

191

34

，24]．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法和求

AM

•

BM

的取值范圍．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．