Question

18、平面內有n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓都沒有共同的交點，試證明這n個圓把平面分成了n2-n+2個區域．

Answer 1

分析：直接利用數學歸納法的證明方法，驗證n=1時命題成立，然后假設n=k時命題成立，證明n=k+1時命題也成立即可．

解答：證明：（1）當n=1時，一個圓把平面分成兩個區域，而12-1+2=2，命題成立．
（2）假設n=k（k≥1）時，命題成立，即k個圓把平面分成k2-k+2個區域．
當n=k+1時，第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點，這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧，
而其中的每一段弧都把它所在的區域分成了兩部分，因此增加了2k個區域，
共有k2-k+2+2k=（k+1）2-（k+1）+2個區域．
∴n=k+1時，命題也成立．
由（1）、（2）知，對任意的n∈N*，命題都成立．

點評：本題是基礎題，考查數學歸納法的證明方法，注意n=k+1的證明過程，增加了2k個區域，這是證明的關鍵所在，兩個步驟缺一不可．