Question

【題目】設、為拋物線上的兩點，與的中點的縱坐標為4，直線的斜率為.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點，、為拋物線（除原點外）上的不同兩點，直線、的斜率分別為，，且滿足，記拋物線在、處的切線交于點，若點、的中點的縱坐標為8，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據題意運用“點差法”求得p，得出拋物線方程；

（2）據題意設，，，根據題意，以及、的中點的縱坐標為8求出A、B兩點的坐標，再設出PA、PB的直線，聯立方程求得PA、PB直線方程，求出S坐標.

解：（1）設，.

直線的斜率為，

又、都在拋物線上，

所以，.

由兩式相減得，

兩邊同除以，且由已知得，.

可得，即.

所以拋物線的方程為.

（2）設，，.

因為

所以，所以，

線段的中點的縱坐標為8，

，

聯立解得，

所以，.

設直線的斜率為，則直線，

由消得.

由，得，即.

所以直線，

同理得直線.

聯立以上兩個方程解得

所以.