Question

如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的一個焦點是F（-，0），離心率e=，過點A（0，-2）且不與y軸重合的直線l與橢圓C相交于不同的兩點P、Q
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點F到直線l的距離為2，求直線l的方程；
（3）問在y軸上是否存在一個定點B，使得直線PB與橢圓C的另一個交點R是點Q關于y軸的對稱點？若存在，求出定點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，，
∴a=2，b=1，
∴橢圓方程為．
（2）設直線l的方程為y=kx-2，
由，
得（1+4k²）x²-16kx+12=0，①
∵△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，得或．②
設p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則，，
由已知得，，解得k=0，或，
由②得，，
∴直線l的方程是．
（3）假設y軸上存在定點B，使R與點Q關于y軸對稱，則R（-x₂，y₂），
∴直線PR的方程為，
令x=0，則+y₁
=
=
=
=
=
=-．
∴存在y軸上定點B，
使得直線PB與橢圓C的另一個交點R是點Q關于y軸的對稱點．
分析：（1）由，，能求出橢圓方程．
（2）設直線l的方程為y=kx-2，由，得（1+4k²）x²-16kx+12=0，由△=（16k）²-48（1+4k²）＞0，得或．設p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，，由已知得，由此能求出直線l的方程．
（3）假設y軸上存在定點B，使R與點Q關于y軸對稱，則R（-x₂，y₂），所以直線PR的方程為，令x=0，得y=-，所以存在y軸上定點B，使得直線PB與橢圓C的另一個交點R是點Q關于y軸的對稱點．
點評：本題主要考查直線與直線、直線與橢圓的位置關系等基礎知識；考查運算求解能力、推理論證能力以及公析與解決問題能力；考查數形結合思想、函數與方程思想、轉化思想．