Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上任意一點到焦點F的距離比到y軸的距離大1．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若過焦點F的直線交拋物線于M、N兩點，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直線MN的方程；
（3）求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題．
例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側棱長為3，求該正四棱錐的體積”．求出體積

16

3

后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為

16

3

，求側棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為

16

3

，求所有側面面積之和的最小值”．
現有正確命題：過點A(-

p

2

，0)的直線交拋物線C：y²=2px（p＞0）于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過焦點F．
試給出上述命題的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題．

Answer 1

分析：（1）拋物線上任一點到焦點的距離比到y軸的距離大1，即有到準線的距離比到y軸的距離大1，所以的

p

2

=1；
（2）由（1）得到的拋物線方程，可設出M，N兩點坐標即設N(

t2

2p

，-t)，則利用|MF|=2|NF|可得到M的坐標，然后利用M、F、N共線，可得t的值．進而求出直線斜率，利用直線方程的點斜式求出直線方程．
（3）在前面解答正確的前提下可得到所要求的“逆向”問題，這個“逆向”問題有多個答案，本題的逆向問題是把直線RQ過焦點F作為條件，于是可由把過點A(-

p

2

，0)作為結論得到，也可以由點P關于x軸的對稱點為R，RQ垂直x軸作為結論得到．

解答：解：（1）由已知及拋物線的定義可得：

p

2

=1，即p=2，所以拋物線C的方程為：y²=4x（4分）
（2）設N(

t2

4

，-t)（t＞0），則M（t²，2t），F（1，0）．
因為M、F、N共線，則有k_FM=k_NF，（6分）
所以

-t

1 4 t2-1

=

2t

t2-1

，解得t=

2

，（8分）
所以k=

2 2

2-1

=2

2

，（10分）
因而，直線MN的方程是y=2

2

(x-1)．（11分）
（3）“逆向問題”一：
①已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F的直線交拋物線C于P、Q兩點，
設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點A(-

p

2

，0)．（13分）
證明：設過F的直線為y=k（x-

p

2

），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則R（x₁，-y₁）
由

y2=4x y=k(x- p 2 )

得k2x2-(pk2+4)x+

1

4

p2k2=0，
所以x1x2=

p2

4

，（14分）
kRA=

-y1

x1+ p 2

=-

k(x1- p 2 )

x1+ p 2

，（15分）
kQA=

k(x2- p 2 )

x2+ p 2

=

k(x1x2- p 2 x1)

x1x2+ p 2 x1

=-

k(x1- p 2 )

x1+ p 2

=k_RA，（16分）
所以直線RQ必過焦點A．（17分）
②過點A(-

p

2

，0)的直線交拋物線C于P、Q兩點，FP與拋物線交于另一點R，則RQ垂直于x軸．
③已知拋物線C：y²=2px（p＞0），過點B（m，0）（m＞0）的直線交拋物線C于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點A（-m，0）．
“逆向問題”二：已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦點為F₁（-c，0），F₂（c，0），
過F₂的直線交橢圓C于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點A(

a2

c

，0)．
“逆向問題”三：已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦點為F₁（-c，0），F₂（c，0），
過F₂的直線交雙曲線C于P、Q兩點，設點P關于x軸的對稱點為R，則直線RQ必過定點A(

a2

c

，0)．

點評：本題考查圓錐曲線--拋物線的概念，幾何性質以及應用；求曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關系及應用．命題的提出與證明，圓錐曲線與向量等知識交匯點的考查應用，同時注意對數形結合思想，定義法，設而不求思想等具體思想方法的考查．