Question

【題目】已知動圓過定點且與軸相切，點關于圓心的對稱點為，動點的軌跡記為.

（1）求的方程；

（2）設直線：與曲線交于點、；直線：與交于點，，其中，以、為直徑的圓、（、為圓心）的公共弦所在直線記為，求到直線距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）設 ，則 ，結合直線與圓相切的充分必要條件可得 .整理化簡，則軌跡方程為.

（2）設 ， ，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，

，結合韋達定理可得以為直徑的圓的方程是： ，化簡可得 ，同理可得以為直徑的圓的方程是： ，兩式作差可得的方程是： .結合點到直線距離公式可得 ，則所求距離最小值為 .

詳解：（1）如圖，設，則，

由題可知，動圓與軸相切，得.

即.

化簡得：.

（2）設，，

將代入得：，，

則：，

且①

設是上的任意一點.

由得以為直徑的圓的方程是：

，

將①式代入上式，化簡得：②

同理以為直徑的圓的方程是：③

②③得的方程是：.

又，

到的距離：

當時，所求距離最小值為.