Question

己知函數f（x）=2acos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

（Ⅰ）求f（x）的最大值與最小值；
（Ⅱ）求f（x）的單調增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

可得：a=1，b=2，于是可得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，從而可求f（x）的最大值與最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1，令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，即可求得其單調增區間．

解答：解：（Ⅰ）由f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

可得：a=1，b=2，
∴f（x）=2cos²x+2sinxcosx
=sin2x+cos2x+1
=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴當x=

π

8

+kπ（k∈Z）時，f（x）取得最大值，為

2

+1；
當x=

5π

8

+kπ（k∈Z）時，f（x）取得最小值，為-

2

+1；
（Ⅱ）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
則-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調增區間為[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z．

點評：本題考查三角函數的化簡求值，考查正弦函數的單調性與最值，突出輔助角公式的應用，考查分析與應用能力，屬于中檔題．