Question

設函數．
（Ⅰ）寫出函數的最小正周期及單調遞減區間；
（Ⅱ）當x∈[]時，函數f（x）的最大值與最小值的和為，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）將滿足（Ⅱ）的函數f（x）的圖象向右平移個單位，縱坐標不變橫坐標變為原來的2倍，再向下平移，得到函數g（x），求g（x）圖象與x軸的正半軸、直線所圍成圖形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用和差角公式，可將函數的解析式化為正弦型函數的形式，根據ω可得函數的周期，將相位角代入正弦函數的單調遞減區間，求出x的范圍，可得函數f（x）的單調遞減區間
（II）由x的范圍，可求出相位角的范圍，進而根據正弦函數的圖象和性質，可求出函數的最值，進而得到a值，求出函數的解析式
（III）根據函數圖象的平移變換法則，伸縮變換法則，求出g（x）的解析式，代入積分公式，可得g（x）圖象與x軸的正半軸、直線所圍成圖形的面積．
解答：解（Ⅰ）函數==sin（2x+）+a+．
∵ω=2，
∴T=π
由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，（k∈Z），
故函數f（x）的單調遞減區間是[+kπ，+kπ]，（k∈Z）．
（II）∵x∈[]
∴2x+∈[]
∴sin（2x+）∈[，1]
∴當x∈[]時，原函數的最大值與最小值的和+a++1+a+=，
解得：a=0
∴f（x）=sin（2x+）+
（3）將滿足（Ⅱ）的函數f（x）sin（2x+）+的圖象向右平移個單位，縱坐標不變橫坐標變為原來的2倍，再向下平移，得到函數g（x）=sinx的圖象
∵=-cosx=1，即g（x）圖象與x軸的正半軸、直線所圍成圖形的面積為1
點評：本題考查的知識點是三角函數的化簡，三角函數的周期性，單調性，最值，及函數圖象的變換，是三角函數問題的綜合應用，難度中檔．