Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)（2，1），平行于直線在軸上的截距為，設(shè)直線交橢圓于兩個不同點(diǎn)、，

（1）求橢圓方程；
（2）求證：對任意的的允許值，的內(nèi)心在定直線。

Answer 1

（1）（2）直線為，由得
，設(shè)直線、的斜率分別為、， 所以，的角平分線垂直軸，因此，內(nèi)心的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則對任意的，的內(nèi)心在定直線

試題分析：（1）設(shè)橢圓方程為
則   所以橢圓方程為           …… 5分
（2）如圖，因?yàn)橹本�平行于，且在軸上的截距為，又，所以，直線的方程為， 由，
設(shè)，則，…………8分
設(shè)直線、的斜率分別為、，則，
故=
=
     ……………12分
故=0， 所以，的角平分線垂直軸，因此，內(nèi)心的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則對任意的，的內(nèi)心在定直線 ……14
點(diǎn)評：直線與橢圓相交，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求是常用的思路，本題要證內(nèi)心在定直線上轉(zhuǎn)化為兩邊關(guān)于該直線對稱，進(jìn)而與斜率聯(lián)系起來