【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知直線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，且曲線
的左焦點
在直線上．
（1）若直線與曲線
交于
兩點，求
的值；
（2）求曲線
的內接矩形的周長的最大值．
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【題目】已知點
，點
是圓
上的任意一點，線段
的垂直平分線與直線
交于點
．
（Ⅰ）求點
的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線
與點
的軌跡有兩個不同的交點
和
，且原點
總在以
為直徑的圓的內部，求實數
的取值范圍．
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【題目】已知數列
滿足：對于任意
且
時，
，
．
（1）若
，求證：
為等比數列；
（2）若
．
① 求數列的通項公式；
② 是否存在
，使得
為數列中的項？若存在，求出所有滿足條件的
的值；若不存在，請說明理由．
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【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為
，
.求：
（1）tan(α＋β)的值；
（2）α＋2β的大小．
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【題目】已知數列
中，
，點
（
）在直線y = x上，
（Ⅰ）計算a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）令bn=an+1﹣an﹣1，求證：數列{bn}是等比數列；
（Ⅲ）設Sn、Tn分別為數列{an}、{bn}的前n項和，是否存在實數λ，使得數列
為等差數列？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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【題目】已知函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時，有
，且f（1）=﹣2
（1）求f（0）及f（﹣1）的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并利用定義加以證明；
（3）求解不等式f（2x）﹣f（x2+3x）＜4．
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【題目】下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請畫出上表數據的散點圖．
(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程
.
(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤．試根據(2)求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤．
(參考數值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
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