Question

數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足3S_n=4014+a_n（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設f（n）表示該數列的前n項的積，n取何值時，f（n）有最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）n=1，求a₁，n≥2，求得，數列{a_n}的通項公式可求；
（2）由題意可求得，，，分與討論n的取值情況，并對
f（9）、f（10）、f（11）、f（12）逐項判斷其正負后比較其大小．
解答：解：（1）∵n=1時，3a₁=4014+a₁，得a₁=2007n≥2時，3S_n=4014+a_n，3S_n-1=4014+a_n-1，
兩式相減得：3a_n=a_n-a_n-1
即：∴數列{a_n}為首項a₁=2007，公比為的等比數列，∴．
（2）∵=，
∴
∴當n≤10時，，當n＞10時，．
∴|f（1）|＜|f（x）|＜…＜|f（10）|，|f（11）|＞|f（12）|＞|f（13）|＞…
又∵，，
（或從f（11）共6正5負相乘，f（10）共5正5負相乘，f（9）共5正4負相乘，f（12）共6正6負相乘也可判斷符號）
∴只需比較f（9）與f（12）的大小，就可以確定f（n）的最大值，
又∵，∴f（12）＞f（9），
綜上：n=12時，f（n）有最大值．
點評：本題考查數列遞推公式，難點在于得到當n≤10時，，當n＞10時，，需要對f（9）、f（10）、f（11）、f（12）逐項判斷其正負，并在同正條件下作商比較，屬于難題．