Question

已知函數f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若k=2010，關于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

分析：對（1）要先對函數求導，然后分k為奇偶數討論導函數大于和小于零時的自變量范圍，由此即可獲得解答；
對（2）利用k=2010先將方程化簡，從而得到函數g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax有唯一的零點，進而將問題轉化為函數的零點問題，然后利用導數知識分析單調性，從而結合

g(x2)=0 g′(x2)=0

求解即可．

解答：解：（1）由已知得x＞0且f′(x)=2x-(-1)k•

2a

x

．
當k是奇數時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數；
當k是偶數時，則f′(x)=2x-

2a

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

．
所以當x∈(0，

a

)時，f′（x）＜0，
當x∈（

a

，+∞）時，f′（x）＞0．
故當k是偶數時，f（x）在(0，

a

)上是減函數，
在（

a

，+∞）上是增函數．
（2）若k=2010，則f（x）=x²-2alnx（k∈N^*）．
記g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax，
g′(x)=2x-

2a

x

-2a=

2

x

(x2-ax-a)，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g'（x）=0，得x²-ax-a=0．因為a＞0，x＞0，
所以x 1=

a- a2+4a

2

＜0（舍去），
x 2=

a+ a2+4a

2

．
當x∈（0，x₂）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是單調遞減函數；
當x∈（x₂，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調遞增函數．
當x=x₂時，g'（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．
因為g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
則

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax 2-a=0

兩式相減得alnx₂+ax₂-a=0，因為a＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）．
設函數h（x）=2lnx+x-1，
因為在x＞0時，h（x）是增函數，所以h（x）=0至多有一解．
因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x₂=1，從而解得a=

1

2

．

點評：本題考查的是函數與方程的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了函數與方程的思想、分類討論的思想以及求導的知識．綜合應用性強，值得同學們體會反思．