Question

【題目】如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面平面.

（1）證明：；

（2）若，，設為中點，求直線與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）由平面平面可得面，從而可得；

（2）建立空間直角坐標系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到結果.

（1）依題意，面面，，

∵面，面面，

∴面.

又面，

∴.

（2）解法一：向量法

在中，取中點，∵，

∴，∴面，

以為坐標原點，分別以為軸，過點且平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖空間直角坐標系，

設，∵，∴，

∴，，，，，

∴，，.

設面法向量為，

則，解得.

設直線與平面所成角為，

則，

因為，∴.

所以直線與平面所成角的余弦值為.

（2）解法二：幾何法

過作交于點，則為中點，

過作的平行線，過作的平行線，交點為，連結，

過作交于點，連結，

連結，取中點，連結，，

四邊形為矩形，所以面，所以，

又，所以面，

所以為線與面所成的角.

令，則，，，

由同一個三角形面積相等可得，

為直角三角形，由勾股定理可得，

所以，

又因為為銳角，所以，

所以直線與平面所成角的余弦值為.