Question

已知點F（a，0）（a＞0），動點M、P分別在x、y軸上運動，滿足

PM

 •

PF

=0，N為動點，并且滿足

PN

•

PM

=0．
（1）求點N的軌跡C的方程；
（2）過點F（a，0）的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A，B兩點，設點K（-a，0），

KA

與

KB

的夾角為θ，求證：0＜θ＜

π

2

．

Answer 1

分析：（1）設N（x，y），P（0，b），由

PM

+

PN

=0及M在x軸可得y=2b①，再由P滿足

PM

 •

PF

=0，及①可得x=

b2

a

②，由①②可求C的軌跡方程
（2）設直線AB的方程為y=k（x-a），聯立方程

y=k(x-a) y2=4ax

整理可得，k²x²-（2ak²+4a）x+a²k²=0，再設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由方程根與系數的關系可得x1+x2=

2ak2+4a

k2

x1x2= a2，根據向量的數量積可得

KA

•

KB

=(x1+a)(x2+a)+y1y2，通過已知條件可求其范圍，進而可求夾角θ的范圍．

解答：解：（1）設N（x，y），P（0，b）
∵

PM

+

PN

=0∴M（-x，2b-y）
∵M在x軸∴2b-y=0，y=2b①
又P滿足

PM

 •

PF

=0，即PM⊥PF
∴

y-b

x

•

b

-a

=-1，x=

b2

a

②
由①②可得，y²=4ax
（2）設l_AB：y=k（x-a）
則有

y=k(x-a) y2=4ax

整理可得，k²x²-（2ak²+4a）x+a²k²=0
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∴x1+x2=

2ak2+4a

k2

x1x2= a2
∴

KA

=(x1+a，y1)  

KB

=(x2+a，y2)
∴

KA

•

KB

=(x1+a)(x2+a)+y1y2=（x₁+a）（x₂+a）+k²（x₁-a）（x₂-a）
=[x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²]+k²[x₁x₂-a（x₁+x₂）+a²]
=（1+k²）（x₁x₂+a²）+a（1-k²）（x₁+x₂）=

4a

k2

＞0
∴0＜θ＜

π

2

點評：本題以向量的基本運算為載體，綜合考查了向量垂直與直線垂直的相互轉化的應用，點的軌跡的求解，直線與圓錐曲線的位置關系的考查，本題的重點與難點在于直線與拋物線的相交關系，這也是圓錐曲線常考的試題類型