Question

在一次數學考試中，第21題和第22題為選做題．規定每位考生必須且只須在其中選做一題．設4名考生選做每一道題的概率均為

1

2

．
（1）求其中甲、乙兩名學生選做同一道題的概率；
（2）設這4名考生中選做第22題的學生個數為ξ，求ξ的概率分布及數學期望．

Answer 1

（1）設事件A表示“甲選做第21題”，事件B表示“乙選做第21題”，
則“甲選做第22題”為

.

A

，“甲選做第22題”為

.

B

，
進而可得，甲、乙2名學生選做同一道題的事件為“AB+

.

A

.

B

”，且事件A、B相互獨立．
∴P(AB+

.

A

.

B

)=P(A)P(B)+P(

.

A

)P(

.

B

)=

1

2

×

1

2

+(1-

1

2

)×(1-

1

2

)=

1

2

；
（2）隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～B(4，

1

2

)．
∴P(ξ=k)=

C

k4

(

1

2

)k(1-

1

2

)4-k=

C

k4

( 1 2 )4

(k=0，1，2，3，4)
∴變量ξ的分布列為：
Eξ=0×

1

16

+1×

1

4

+2×

3

8

+3×

1

4

+4×

1

16

=2（或Eξ=np=4×

1

2

=2）．