Question

已知動點到點的距離與到直線的距離之比為定值，記的軌跡為．

（1）求的方程，并畫出的簡圖；

（2）點是圓上第一象限內的任意一點，過作圓的切線交軌跡于，兩點．

（i）證明：；

（ii）求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1），C的圖象是橢圓．

（2）（i） 。(ii)當過點時取最大值2

【解析】

試題分析：（1）設，由題動點M滿足：         1分

其中：，

...2分

代入，化簡得：

C的圖象是橢圓，如圖所示．          4分

（2）（i）設，

則          5分

         6分

即                       7分

(ii)解法一、設切線為，由題與圓相切，得，

8分

再由，得         9分

          10分

由（i）知，所以

11分

又                      . 2分

，當時，取最大值2         13分

的最大值為2．          ...14分

解法二、

由（i）同理得，則

又

當過點時取最大值2

考點：本題主要考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質，直線與圓、直線與橢圓的位置關系，弦長公式。

點評：中檔題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，a,b,c,e的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。涉及弦長問題，一般要利用韋達定理，簡化解題過程。本題“幾何味”較濃，應認真分析幾何特征。