Question

（本題滿分10分）

如圖，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面邊長(zhǎng)AB＝2，側(cè)棱BB₁的長(zhǎng)為4，過點(diǎn)B作B₁C的垂線交側(cè)棱CC₁于點(diǎn)E，交B₁C于點(diǎn)F，

⑴求證：A₁C⊥平面BDE；

⑵求A₁B與平面BDE所成角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

⑴由三垂線定理可得，A₁C⊥BD，A₁C⊥BEA₁C⊥平面BDE

⑵

【解析】

試題分析：⑴由三垂線定理可得，A₁C⊥BD，A₁C⊥BEA₁C⊥平面BDE

⑵以DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸，建立坐標(biāo)系，則，

，∴，∴

設(shè)A₁C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A₁BK為A₁B與平面BDE所成角，

∴

考點(diǎn)：本題主要考查三垂線定理的應(yīng)用，角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。本題解法利用了向量，簡(jiǎn)化了證明過程。