Question

【題目】某電子產品公司前四年的年宣傳費x（單位：千萬元）與年銷售量y（單位：百萬部）的數據如下表所示：

x（單位：千萬元）	1	2	3	4
y（單位：百萬部）	3	5	6	9

可以求y關于x的線性回歸方程為 =1.9x+1．
參考公式：回歸方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
= ， = ﹣ ．
（1）該公司下一年準備投入10千萬元的宣傳費，根據所求得的回歸方程預測下一年的銷售量m：
（2）根據下表所示五個散點數據，求出y關于x的線性回歸方程 = x+ ．

x（單位：千萬元）	1	2	3	4	10
y（單位：百萬部）	3	5	6	9	m

并利用小二乘法的原理說明 = x+ 與 =1.9x+1的關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據y關于x的線性回歸方程為 =1.9x+1，

計算x=10時， =1.9×10+1=20；

即公司投入10千萬元的宣傳費，預測下一年的銷售量m=20百萬部

（2）解：根據下表所示五個散點數據，

計算 = ×（1+2+3+4+10）=4，

= ×（3+5+6+9+20）=6.6；

x（單位：千萬元）	1	2	3	4	10
y（單位：百萬部）	3	5	6	9	20

∴ xiyi=1×3+2×5+3×6+4×9+10×20=267，

=12+22+32+42+102=130，

∴回歸系數為 = = =2.7，

= ﹣ =6.6﹣2.7×4=﹣4.2，

求出線性回歸方程為 =2.7x﹣4.2；

散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，

稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線；

使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法

【解析】（1）根據線性回歸方程計算x=10時 的值即可；（2）根據表中五個散點數據，計算 、 以及回歸系數，寫出線性回歸方程， 解釋回歸直線與最小二乘法的關系即可．