Question

（2012•西城區二模）已知函數f(x)=cos2(x-

π

6

)-sin2x．
（Ⅰ）求f(

π

12

)的值；
（Ⅱ）若對于任意的x∈[0，

π

2

]，都有f（x）≤c，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件利用二倍角的余弦公式求出f(

π

12

)的值．
（Ⅱ）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式為

3

2

sin(2x+

π

3

)，由x的范圍求出角2x+

π

3

的范圍，可得f（x）的最大值，可得實數c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f(x)=cos2(x-

π

6

)-sin2x，∴f(

π

12

)=cos2(-

π

12

)-sin2

π

12

=cos

π

6

=

3

2

．  …（5分）
（Ⅱ）∵f(x)=

1

2

[1+cos(2x-

π

3

)]-

1

2

(1-cos2x)…（7分）
=

1

2

[cos(2x-

π

3

)+cos2x]=

1

2

(

3

2

sin2x+

3

2

cos2x) …（8分）
=

3

2

sin(2x+

π

3

)．      …（9分）
因為 x∈[0，

π

2

]，所以 2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，…（10分）
所以當 2x+

π

3

=

π

2

，即 x=

π

12

時，f（x）取得最大值

3

2

．   …（11分）
所以 ?x∈[0，

π

2

]，f（x）≤c等價于 

3

2

≤c．
故當 ?x∈[0，

π

2

]，f（x）≤c時，c的取值范圍是[

3

2

，+∞)．  …（13分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域、值域，屬于中檔題．