Question

設圓O的方程為x²+y²=r²（r＞0），A（-r，0）、B（0，r）為直徑的端點，C（x₀，y₀）是圓上的任意一點，從點A作直線m垂直于過點C的圓O的切線l，交直線BC于M．
（I）求l的方程；
（II）求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）設Q（x，y）是切線l上異于點C的任意一點，利用向量

CQ

與

OC

互相垂直得

OC

•

CQ

=0，建立關于x₀、y₀、x、y的等式并利用x₀²+y₀²=r²化簡，即可得到切線l的方程；
（II）算出l的斜率k=-

x0

y0

，由切線的性質得AM的斜率，利用點斜式寫出AM的方程．再由直線方程的兩點式給出直線 BC的方程，聯解得到BC、AC交點M坐標進而得到C坐標關于x、y、r的形式，代入圓0的方程化簡即得點M的軌跡方程．

解答：解：（I）設Q（x，y）是切線l上異于點C的任意一點
則

CQ

=（x-x₀，y-y₀），
∵

OC

=（x₀，y₀），且

CQ

與

OC

互相垂直
∴

OC

•

CQ

=0，得x₀（x-x₀）+y₀（y-y₀）=0，化簡得x₀x+y₀y=x₀²+y₀²
∵點C（x₀，y₀）是圓上一點，可得x₀²+y₀²=r²
∴切線l的方程為x0x+y0y=r2．
（II）由題意知C不與A、B重合，
∵AM⊥l，∴由直線l的斜率k=-

x0

y0

，得kAM=

-1

k

=

y0

x0

，
故AM的方程為y=

y0

x0

•(x+r)，化簡得y₀x-x₀y+y₀r=0．①
又由兩點式得直線BC的方程為y₀x-（x₀-r）y=-y₀r．②
由方程①、②聯解，得點C的坐標滿足x0=

x+r

2

，y0=

y

2

．
又∵C（x₀，y₀）在圓x²+y²=r²上，
∴可得(

x+r

2

)2+(

y

2

)2=r2，化簡整理得（x+r）²+y²=4r²．
結合點M不可能在x軸上，得點M的軌跡方程為（x+r）²+y²=4r²．（y≠0）

點評：本題給出圓的切線和動點滿足的條件，求動點的軌跡方程．著重考查了圓的方程、直線與圓的位置關系和動點軌跡的求法等知識，屬于中檔題．