Question

已知不等式|1-kxy|＞|kx-y|．
（1）當k=1，y=2時，解關于x的不等式|1-kxy|＞|kx-y|；
（2）若不等式|1-kxy|＞|kx-y|對任意滿足|x|＜1，|y|＜1的實數x，y恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當k=1，y=2時，由不等式可得|1-2x|＞|x-2|，即 1-4x+4x²＞x²-4x+4，等價于 x²＞1．
（2）已知不等式等價于  （k²x²-1）（y²-1）＞0對任意滿足|x|＜1，|y|＜1的實數x，y 恒成立，而y²＜1，轉化為k²x²-1＜0對任意滿足|x|＜1的實數x恒成立，由 ∈（1，+∞），可得 k²≤1．
解答：解：（1）當k=1，y=2時，不等式|1-kxy|＞|kx-y|，即為|1-2x|＞|x-2|．
所以，1-4x+4x²＞x²-4x+4  等價于 x²＞1，所以，x∈（-∞，-1）∩（1，+∞）．
（2）由已知得|1-kxy|＞|kx-y|等價于|1-kxy|²＞|kx-y|² 等價于  1+k²x²y²＞k²x²+y²，
即（k²x²-1）（y²-1）＞0對任意滿足|x|＜1，|y|＜1的實數x，y 恒成立．
而y²＜1，所以y²-1＜0，故（k²x²-1）（y²-1）＞0，等價于 k²x²-1＜0．
于是命題轉化為k²x²-1＜0對任意滿足|x|＜1的實數x恒成立．
當x=0時，易得k∈R；
當x≠0時，有k²＜對任意滿足|x|＜1，x≠0的實數x恒成立．
由0＜|x|＜1 等價于 0＜x²＜1，∴∈（1，+∞），所以，k²≤1．
綜合以上得k∈[-1，1]即為所求的取值范圍．
點評：本題考查查絕對值不等式的解法，不等式的基本性質，體現了轉化的數學思想．