Question

【題目】（多選題）下列說法正確的是（ ）

A.橢圓1上任意一點(diǎn)（非左右頂點(diǎn)）與左右頂點(diǎn)連線的斜率乘積為

B.過雙曲線1焦點(diǎn)的弦中最短弦長為

C.拋物線y2＝2px上兩點(diǎn)A（x1，y1）．B（x2，y2），則弦AB經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的充要條件為x1x2

D.若直線與圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線和圓錐曲線相切

Answer 1

【答案】A

【解析】

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，通過聯(lián)立方程組，恰當(dāng)利用韋達(dá)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解，得到答案.

對于A中，橢圓的左右頂點(diǎn)的分別為，

設(shè)橢圓上除左右頂點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)，則，

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，可得，解得，

所以，所以A項(xiàng)是正確的；

對于B中，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)，

（1）當(dāng)直線與雙曲線的右支交于，

（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線方程為，則，

（ii）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，則直線方程為，

聯(lián)立方程組，得，

則，得或，

由焦半徑公式可得

，

所以當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的長最小，最小值為．

（2）當(dāng)過的直線與雙曲線的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)可得的最小值為．

綜上可得，當(dāng)，即，此時(shí)過焦點(diǎn)的弦長最短為；

當(dāng)，即，此時(shí)過焦點(diǎn)的弦長最短為．

所以B項(xiàng)是不正確的；

對于C中，充分性：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以，此時(shí)直線過焦點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，

由，得，

所以，且，

又因?yàn)?/span>且，所以，解得或，

所以直線方程為或,

當(dāng)直線時(shí)，取時(shí)，，直線過焦點(diǎn)；

當(dāng)直線時(shí)，取時(shí)，，直線過焦點(diǎn)；

所以充分性不成立．

必要性：當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)，

設(shè)過焦點(diǎn)的直線的方程為，代入，

可得，則，

則.

所以拋物線上兩點(diǎn)，則弦經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的必要不充分條件是，所以C是不正確的.

對于D中，當(dāng)直線和拋物線的對稱軸平行時(shí)，滿足只有一個(gè)交點(diǎn)，但此時(shí)直線拋物線是相交的，所以直線與圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，所以該直線和圓錐曲線相切是錯(cuò)誤，即D項(xiàng)是不正確的.

故選：A.