Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的兩個焦點為F1 ， F2 ， 離心率為 ，點A，B在橢圓上，F1在線段AB上，且△ABF2的周長等于4 ．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過圓O：x2+y2=4上任意一點P作橢圓C的兩條切線PM和PN與圓O交于點M，N，求△PMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABF2的周長等于4 ，且F1在邊AB上，

∴（BF1+BF2）+（AF1+AF2）=4 ，

∴2a+2a=4 ，即a= ，

又∵e= ，∴c= ，

∴b= ，

∴橢圓C的標準方程為：

（2）解：依題意，設P（x0，y0），設過P點的直線為y﹣y0=k（x﹣x0），

記b=﹣kx0+y0，整理得：y=kx+b，并代入橢圓方程，得：

x2+3k2x2+6kbx+3b2﹣3=0，

令△=0，得9k2b2﹣3b2﹣9k2b2+9k2+3=0，

∴9k2﹣3b2+3=0，即3k2﹣b2+1=0，

又∵b=﹣kx0+y0，

∴3k2﹣k2x02+2kx0y0﹣y02+1=0，

∵△=3y02+x02﹣3＞0，

∴k1k2= ，

又∵x02+y02=4，即y02=4﹣x02，

∴k1k2= =﹣1，

∴過圓O：x2+y2=4上任意一點P作橢圓C的兩條切線均垂直，

∴MN為圓O的直徑，

∴當P點為（0，±2）時，△PMN面積的最大，最大值為 ×4×2=4

【解析】（1）通過橢圓定義及△ABF2的周長等于4 ，可知a= ，利用e= ，可知c= ，通過b= 可知b=1，進而可得結論；（2）通過設P（x0 ， y0）及過P點的直線為y﹣y0=k（x﹣x0），并與橢圓方程聯立，通過令根的判別式為0，計算可知過圓O：x2+y2=4上任意一點P作橢圓C的兩條切線均垂直，進而計算可得結論．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．