Question

設定義在R上的函數f（x）滿足對?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，則{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素個數為

0或1

．

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）滿足對?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，結合函數單調性的定義，我們可得到函數f（x）為定義在R上的增函數，進而根據增函數的圖象和性質可得其圖象與直線y=a至多有一個交點，分析{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}所表示的幾何意義，即可得到答案．

解答：解：∵函數f（x）滿足對?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，
即t＞0時，f（x+t）-f（x）＞0，
t＜0時，f（x+t）-f（x）＜0，
即函數值隨著自變量的增大而增大，減小而減小
則函數f（x）為定義在R上的增函數
則函數f（x）的圖象與直線y=a至多有一個交點
故{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素個數為0或1
故答案為：0或1

點評：本題考查的知識點是集合中元素個數，函數的單調性，函數的圖象，其中正確理解{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}所表示的幾何意義，即判斷函數f（x）的圖象與直線y=a交點的個數，是解答本題的關鍵．