Question

已知定義在實數集上的函數f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其導函數記為f_n′（x），且滿足f2′[x1+a(x2-x1)]=

f2(x2)-f2(x1)

x2-x1

，a，x₁，x₂為常數，x₁≠x₂．
（1）試求a的值；
（2）記函數F（x）=b•f₁（x）-lnf₃（x），x∈（0，e]，若F（x）的最小值為6，求實數b的值；
（3）對于（2）中的b，設函數g(x)=(

b

3

)x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數g（x）圖象上兩點，若g′(x0)=

y2-y1

x2-x1

，試判斷x₀，x₁，x₂的大小，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據所給的函數，對函數求導，根據題意寫出滿足的關系式，求出字母系數的值．
（2）根據所給的函數，對函數求導，根據函數求最值的過程，先求出函數的單調性，根據單調性做出函數的單調區間，進一步做出函數的最值．
（3）先猜測三個變量的大小，要證三個變量之間的這種大小關系，只要構造新不等式，只需證ex1＜ex0＜ex2，結合條件中所給的關系，利用函數的單調性得到結論．

解答：解：（1）f₂（x）=x²，f₂′（x）=2x
依題意，2•[x1+a(x2-x1)]=

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

，得，a=

1

2

．             
（2）F（x）=bx-3lnx，F′(x)=b-

3

x

，x∈（0，e]，
①若b≤

3

e

，F′(x)=a-

3

x

≤0，F（x）在（0，e]上單調遞減，
F（x）的最小值是F（e），由a₁（x），a₂（x），a₃（x）得，b=

9

e

（舍去）；     
②若b＞

3

e

，F′(x)=

b

x

(x-

3

b

)，令F'（x）=0得x=

3

b

，
當x∈(0，

3

b

)時，F'（x）＜0，F（x）在(0，

3

b

)上單調遞減；
當x∈(

3

b

，e]時，F'（x）＞0，F（x）在(

3

b

，e]上單調遞增；
所以F（x）的最小值是F(

3

b

)，由F(

3

b

)=6得，b=3e．          
（3）g（x）=e^x，猜測x₁＜x₀＜x₂．
只需證ex1＜ex0＜ex2，∵g′(x0)=ex0=

y2-y1

x2-x1

=

ex2-ex1

x2-x1

，
故只需證ex1＜

ex2-ex1

x2-x1

＜ex2，
即證：ex1+ex1(x2-x1)-ex2＜0，且ex2-ex2(x2-x1)-ex1＜0，
設h(x)=ex+ex(x2-x)-ex2，h'（x）=-e^x（x-x₂），當x≤x₂時，h'（x）≥0，
∴h（x）在（-∞，x₂]上是增函數，
∵x₁＜x₂，∴h（x₁）＜h（x₂），即ex1+ex1(x2-x1)-ex2＜0，
設φ(x)=ex-ex(x-x1)-ex1，則φ'（x）=-e^x（x-x₁），當x≥x₁時，φ'（x）≤0，
∴φ（x）在[x₁，+∞）上是減函數，
∵x₁＜x₂，∴φ（x₁）＞φ（x₂），即ex2-ex2(x2-x1)-ex1＜0．
綜上所述，x₁＜x₀＜x₂．

點評：本題考查函數的單調區間和單調性的應用，本題解題的關鍵是猜測和證明的過程非常重要，再者題目要證明一個不等式成立，題目做了鋪墊，始終根據函數的性質解題．