Question

已知函數y=f（x）的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），求證：函數y=f（x）是奇函數．

Answer 1

分析：令a=b=0，結合已知可得f（0）=0，令a=x，b=-x，易得f（-x）=-f（x），進而根據函數奇偶性的定義，可得答案．

解答：證明：令a=b=0
∵對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），
∴f（0）=f（0）+f（0），
則f（0）=0
令a=x，b=-x
則f（a+b）=f（0）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x）
即函數y=f（x）是奇函數．

點評：本題以抽象函數的單調性證明為載體考查了函數的奇偶性的定義，其中利用“湊配法”得到f（0）=0及f（-x）=-f（x）是解答的關鍵．