Question

已知{a_n}是等比數列，a₁=2，a₃=18；{b_n}是等差數列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和S_n的公式；
（3）設P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，其中n=1，2，…，試比較P_n與Q_n的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）將已知轉化成基本量，先有{a_n}的條件求出公比q²=

a3

a1

，要注意討論q的值的情況，再由等差數列{b_n}滿足b₁+b₂+b₃+b₄=26進而求出d，得到b_n；
（2）利用等差數列的前n項和公式可得結果；
（3）由已知可得b₁，b₄，b₇，b_3n-2組成以b₁=2為首項，3d為公差的等差數列，而b₁₀，b₁₂，b₁₄，b_2n+8組成以b₁₀=29為首項，2d為公差的等差數列，求出P_n和Q_n后，作差比較，得到關于n的函數關系式，討論n的情況可得結果．

解答：解：（1）設{a_n}的公比為q，由a₃=a₁q²得q²=

a3

a1

=9，q=±3．
當q=-3時，a₁+a₂+a₃=2-6+18=14＜20，
這與a₁+a₂+a₃＞20矛盾，故舍去．
當q=3時，a₁+a₂+a₃=2+6+18=26＞20，故符合題意．
設數列{b_n}的公差為d，由b₁+b₂+b₃+b₄=26得4b₁+

4×3

2

d=26．
又b₁=2，解得d=3，所以b_n=3n-1．
（2）S_n=

n(b1+bn)

2

=

3

2

n²+

1

2

n．
（3）b₁，b₄，b₇，b_3n-2組成以3d為公差的等差數列，
所以P_n=nb₁+

n(n-1)

2

•3d=

9

2

n²-

5

2

n；
b₁₀，b₁₂，b₁₄，b_2n+8組成以2d為公差的等差數列，b₁₀=29，
所以Q_n=nb₁₀+

n(n-1)

2

•2d=3n²+26n．
P_n-Q_n=（

9

2

n²-

5

2

n）-（3n²+26n）=

3

2

n（n-19）．
所以，對于正整數n，當n≥20時，P_n＞Q_n；
當n=19時，P_n=Q_n；
當n≤18時，P_n＜Q_n．

點評：本題考查等差數列、等比數列等基本知識，屬于基礎題目，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．