Question

已知函數f(x)=

2

x

+alnx-2(a＞0)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求函數y=f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，試求a的取值范圍；
（Ⅲ）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．當a=1時，函數g（x）在區間[e^-1，e]上有兩個零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求出函數的定義域，在定義域內，求出導數大于0的區間，即為函數的增區間，
求出導數小于0的區間即為函數的減區間．
（Ⅱ） 根據函數的單調區間求出函數的最小值，要使f（x）＞2（a-1）恒成立，需使函數的最小值大于2（a-1），
從而求得a的取值范圍．
（Ⅲ）利用導數的符號求出單調區間，再根據函數g（x）在區間[e^-1，e]上有兩個零點，得到

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，
 解出實數b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）直線y=x+2的斜率為1，函數f（x）的定義域為（0，+∞），
因為f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，所以，f′(1)=-

2

12

+

a

1

=-1，所以，a=1．
所以，f(x)=

2

x

+lnx-2，f′(x)=

x-2

x2

． 由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．
所以f（x）的單調增區間是（2，+∞），單調減區間是（0，2）．
（Ⅱ）  f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，由f'（x）＞0解得 x＞

2

a

； 由f'（x）＜0解得 0＜x＜

2

a

．
所以，f（x）在區間(

2

a

，+∞)上單調遞增，在區間(0，

2

a

)上單調遞減．
所以，當x=

2

a

時，函數f（x）取得最小值，ymin=f(

2

a

)．因為對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以，f(

2

a

)＞2(a-1)即可． 則

2

2 a

+aln

2

a

-2＞2(a-1)． 由aln

2

a

＞a解得 0＜a＜

2

e

．
所以，a的取值范圍是  (0，

2

e

)．
（Ⅲ） 依題得 g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，則 g′(x)=

x2+x-2

x2

．
由g'（x）＞0解得  x＞1；   由g'（x）＜0解得  0＜x＜1．
所以函數g（x）在區間（0，1）為減函數，在區間（1，+∞）為增函數．
又因為函數g（x）在區間[e^-1，e]上有兩個零點，所以

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，
解得 1＜b≤

2

e

+e-1．   所以，b的取值范圍是(1，

2

e

+e-1]．

點評：本題考查導數與曲線上某點的切線斜率的關系，利用導數求函數的單調區間以及函數的最值．