Question

設、分別是橢圓：的左右焦點。

（Ⅰ）設橢圓上的點到兩點、距離之和等于，寫出橢圓的方程和焦點坐標；

（Ⅱ）設是（1）中所得橢圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程；

(Ⅲ）設點是橢圓上的任意一點，過原點的直線與橢圓相交于，兩點，當直線 ， 的斜率都存在，并記為， ，試探究的值是否與點及直線有關，不必證明你的結論。

Answer 1

（Ⅰ）橢圓C的方程為  

（Ⅱ） (Ⅲ）的值與點P的位置無關，同時與直線L無關

解析:

（Ⅰ）由于點在橢圓上， ……………………… 1分

2=4,                                            ………………………2分  

橢圓C的方程為                        ………………………3分

焦點坐標分別為               ………………………4分

（Ⅱ）設的中點為B（x, y）則點 ………………………5分

把K的坐標代入橢圓中得………7分

線段的中點B的軌跡方程為   ………………8分

（Ⅲ）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱 

設                  

在橢圓上，應滿足橢圓方程，得  ……10分

          ………………11分

==       ………………13分

故：的值與點P的位置無關，同時與直線L無關，………………14分