Question

設橢圓=1的焦點為F₁、F₂,P是橢圓上任意一點,一條斜率為的直線交橢圓于A、B兩點,如果當a變化時,總可同時滿足:
①∠F₁PF₂的最大值為;
②直線l:ax+y+1=0平分線段AB.
求a的取值范圍.

Answer 1

a>.

由橢圓的定義及余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=(|PF₁|+|PF₂|)²-
2|PF₁|·|PF₂|(1+cos∠F₁PF₂).
∴2|PF₁||PF₂|(1+cos∠F₁PF₂)=4a²-4c²=4b².
∵|PF₁||PF₂|≤()²,
∴2()²(1+cos∠F₁PF₂)≥4b².
∴cos∠F₁PF₂≥,當且僅當|PF₁|=|PF₂|時取等號.由于∠F₁PF₂的最大值為,
∴=.
∴3a²=4b²,從而橢圓方程為3x²+4y²=3a².
設AB的方程為y=x+m,代入橢圓方程得4x²+4mx+4m²-3a²=0.
由Δ=16m²-4×4(4m²-3a²)>0a²>m².而AB的中點M(-,)在l上,
∴-+1=0,解得m=.
代入a²>m²,解得a>.